ФРЭЛА МАИ

Математический анализ

4 факультет МАИ, 2 семестр, гр. 101 - 104

Вопросы к экзамену

2007 г.

Тема 1. Векторное пространство Rⁿ и функции многих переменных.

Векторное пространство Rⁿ . Норма, способы задания нормы, свойства нормы. Расстояние между элементами. Точечные множества в Rⁿ . Замкнутые и открытые множества, окрестность. Изолированные и предельные точки. Граничные точки и граница множества. Область. Общее теоретико-множественное определение функции (повторение). Функции многих переменных. Предел. Непрерывность.

Тема 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Частные производные первого порядка. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость функции многих переменных и дифференциал. Линеаризация функции многих переменных. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. Геометрический смысл дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (явное задание поверхности, неявное). Дифференци­рование сложных функций. Полная производная. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций. Скалярное поле. Линии и поверхности уров­ня. Производная по направлению и градиент функции.

Тема 3. Экстремум функций многих переменных.

Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия первого порядка. Необходимые и достаточные условия второго порядка. Критерий Сильвестра.

Тема 4. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

Интеграл Римана для функций одной, двух и трех переменных. Интеграл Римана для функций произвольного числа переменных. Геометрические, механические и др. приложения интеграла Римана (площадь, объем, моменты, координаты центра тяжести). Свойства интеграла Римана. Теорема существования интеграла Римана. Сведение двойного интеграла к повторным. Правила вычисления тройных и n - кратных интегралов. Дифференцирование интеграла по параметру. Замена переменных в интеграле. Якобиан преобразования. Замена переменных в двойном интеграле. Полярная система координат. Заме­на переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Многомер­ные несобственные интегралы.

Тема 5. Теория поля и специальные интегралы.

Криволинейный интеграл первого рода по кусочно-гладкой ориентированной кривой. Приложе­ния криволинейного интеграла первого рода ( длина дуги, масса кривой, моменты, центр тяжести кри­вой). Интеграл по поверхности первого рода. Приложения интеграла по поверхности первого рода (площадь поверхности, масса криволинейной пластинки, моменты, центр тяжести криволинейной пла­стинки). Векторное поле. Криволинейный интеграл второго рода. Работа силы при перемещении вдоль кривой. Свойства криволинейного интеграла второго рода. Потенциальное векторное поле. Необходи­мые и достаточные условия потенциальности плоского векторного поля. Физический смысл потенци­альности векторного поля. Ротор векторного поля и признак потенциальности векторного поля в трех­мерном случае. Поверхностный интеграл второго рода и его свойства. Сведение поверхностного инте­грала второго рода к интегралу первого рода. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Ди­вергенция векторного поля и ее физический смысл. Формула Гаусса — Остроградского. Соленоидальное векторное поле и его физический смысл. Формула Стокса и циркуляция вектора.

Тема 6. Числовые ряды.

Числовые ряды. Основные определения и свойства. Необходимый признак сходимости число­вого ряда. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения рядов. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости Коши. Обобщенный гармонический ряд и его свойст­ва. Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и ус­ловная сходимость. Теоремы о перестановке членов ряда.

Тема 7. Функциональные ряды и их приложения.

Функциональные последовательности и ряды. Основные определения и свойства. Область схо­димости функционального ряда. Мажорируемые функциональные ряды. Непрерывность суммы функционального ряда. Признак непрерывности. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степен­ного ряда. Непрерывност?? суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Замена переменной при исследовании степенных рядов, ряды по степеням ( x - a ) . Ряды Тейло­ра и Маклорена. Признак сходимости (необходимый и достаточный) ряда Тейлора. Единственность разложения функции в степенной ряд. Разложение в степенные ряды Тейлора и Маклорена элементар­ных функций. Применение рядов Тейлора и Маклорена для приближенных вычислений. Биномиальный ряд. Применение степенных рядов для приближенного вычисления функций и интегралов.

Тема 8. Ортогональные системы функций и ряды Фурье

Линейное нормированное пространство функций. Норма, скалярное произведение, расстояние между элементами и их свойства. Ортонормированный базис. Разложение вектора по ортонормированному базису. Ортонормированный базис Фурье. Ряды Фурье. Физический смысл разложения периоди­ческой функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для произвольного периода. Признак сходимости ряда Фурье к разлагаемой в ряд функции. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Преимущества и недостатки рядов Фурье по сравнению с рядами Тейлора и Маклорена. Комплексная форма ряда Фурье.

Тема 9. Интегральные преобразования Фурье и Хартли.

Интегральное преобразование Фурье. Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье. Применение преобразования Фурье к вычислению несобственных интегралов. Комплексная форма интегрального преобразования Фурье. Преобразование Хартли и его связь с преобразованием Фурье.

Тема 10. Другие, отличные от Фурье, ортонормированные системы функций и соответствующие ряды.

Другие ортонормированные системы функций. Общая процедура ортонормализации бесконеч­ной системы функций. Полиномы Лежандра, Чебышева, Чебышева-Эрмита и соответствующие ряды. Преимущества и недостатки рядов по ортогональным системам функций по сравнению с рядами Тейло­ра. Функции и ряды Уолша.

Рекомендуемая литература Основная

1.          Бугров Я.С., Никольский СМ. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1988.

2.          Бугров Я.С., Никольский СМ. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1988.

3.          Сборник задач по математике для ВТУЗов, ч. 1 (Линейная алгебра и основы математического анали­за), под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, - М.: Наука, 1981 (1993).

4.          Сборник задач по математике для ВТУЗов, ч. 2 (Специальные разделы математического анали­за), под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, - М.: Наука, 1981 (1986).

Дополнительная

1.    Задачи   и упражнения по   математическому анализу (для   втузов),    под ред.   Б.П. Демидовича -

М.: Наука, 1974.

2.          Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы, - М.: Наука, 1966.

3.          Анге А. Математика для электро- и радиоинженеров, - М.: Наука, 1969.

4.          Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях, - М.: Наука, 1989.

Лектор: проф. М.М. Хрусталев