Дифференциальные уравнения и теория функций комплексного переменного ( ДУ и ТФКП )
4 факультет МАИ, 3 семестр, гр. 201 - 204. Вопросы к экзамену ( 2007 г., осень )
Часть I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
Примеры задач, приводящих к ОДУ.
Понятие ОДУ. Общее и частное решения.
Уравнение в дифференциалах.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейное ОДУ n-го порядка, свойства решений, структура общего решения. Задача Коши.
Линейное ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Однородное
уравнение. Структура решения. Характеристическое уравнение.
Неоднородные линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - метод вариации произвольных
постоянных.
Неоднородные линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - метод подбора частного реше
ния для уравнений со специальной правой частью.
Явление резонанса.
Уравнение, разрешенное относительно старшей производной и система ОДУ первого порядка. Связь между
ними. Векторная форма записи системы ОДУ первого порядка.
Задача Коши и краевая задача для системы ОДУ первого порядка.
Системы линейных ОДУ первого порядка. Задача Коши для систем линейных ОДУ первого порядка.
Основные свойства решений системы линейных ОДУ первого порядка.
Системы линейных ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами. Структура решения.
Решение системы линейных ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами методом сведения к од
ному дифференциальному уравнению высокого порядка.
Численные методы решения ОДУ и систем ОДУ. Методы Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого поряд
ков, Адамса, их анализ и сравнение.
Теорема существования решения и теорема единственности решения системы ОДУ первого порядка.
Теорема продолжения решения системы ОДУ первого порядка.
Теорема существования и единственности решения для систем линейных ОДУ первого порядка.
Уметь решать следующие практические задачи
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Линейное однородное ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Неоднородное линейное ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - метод вариации произволь
ных постоянных.
Неоднородное линейное ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами - метод подбора частного ре
шения для уравнений со специальной правой частью.
Решение системы линейных ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами (второго и третьего
порядка).
Для всех типов уравнений необходимо уметь: а) опознать тип уравнения или системы уравнений, б) найти общее решение, в) найти частное решение, удовлетворяющее заданным условиям (решить задачу коши или краевую задачу).
Часть 2. Теория функций комплексного переменного ( ТФКП ) и операционное исчисление 2.1. Теория функций комплексного переменного ( ТФКП )
1. Основные сведения о комплексных числах. Формула Эйлера. Корень из комплексного числа. Возведение ком
плексного числа в произвольную действительную или комплексную степень.
Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность.
Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Высшие производные.
Элементарные ФКП ( sin z, cos z, ez, Ln z, и т.д.), их аналитичность.
Доказательство формулы Эйлера.
6. Условия Даламбера - Эйлера ( Коши - Римана). Необходимые и достаточные условия аналитичности функ
ции.
Интегрирование ФКП.
Теоремы Коши об интегралах от ФКП.
Интегральная формула Коши.
Интегральная формула Коши для сложного контура.
Представление производной ФКП n-го порядка через интеграл от ФКП.
12. Ряды Тейлора и Лорана. Теоремы о сходимости рядов Тейлора и Лорана. Практические приемы разложения
функции в ряд Лорана.
13. Классификация изолированных особых точек ФКП. Способы определения типа особенности. Вычеты и спо
собы их вычисления.
14. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
2.2. Операционное исчисление
Преобразование Лапласа и обратное преобразование. Символика и терминология операционного исчисления.
Связь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье.
Изображения простейших функций: 1 ( t), sin (t), cos ( t ), t, .
Основные формулы операционного исчисления и свойства преобразования Лапласа: свойства подобия, линей
ности, смещения изображения.
5. Основные формулы операционного исчисления и свойства преобразования Лапласа: дифференцирование изо
бражения, дифференцирование оригинала.
6. Основные формулы операционного исчисления и свойства преобразования Лапласа: интегрирование оригина
ла, интегрирование изображения, запаздывание оригинала.
Оригинал дробно-рационального изображения.
Дельта-функция Дирака и ее свойства. Изображение дельта-функции и ее производных.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами с по
мощью операционного исчисления. Использование дельта-функции.
Передаточная функция системы. Передаточная функция и спектр сигнала.
11. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициен
тами операционным методом.
Уметь решать следующие практические задачи
1. В совершенстве владеть арифметическими операциями с комплексными числами и применением формулы
Эйлера.
Разложение в ряд Лорана дробно-линейной функции.
Вычисление интегралов от ФКП с помощью теории вычетов.
4. Нахождение изображения графически заданной кусочно-непрерывной функции, образованной отрезками
прямых.
5. Решение задачи Коши для линейного ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операционным
методом.
6. Решение задачи Коши для систем линейных ОДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами операци
онным методом.
Лектор :
доктор физико-математических
наук, профессор кафедры
математической кибернетики М.М. Хрусталев
